1. หลักการของเส้นระดับ

ฟังก์ชันสองตัวแปร $f(x, y)$ ทำแผนที่จุดในระนาบ $\mathbb{R}^2$ ไปยังระดับความสูง $z$ เราตีความสิ่งนี้ผ่าน เส้นระดับ, ซึ่งนิยามว่า:

เส้นระดับของฟังก์ชัน $f$ สองตัวแปร คือ เส้นโค้งที่มีสมการ $f(x, y) = k$ โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่ในโดเมนของ $f$

2. มิติที่สูงขึ้น: พื้นผิวระดับ

ฟังก์ชันสามตัวแปร กำหนดจำนวน $z = f(x, y, z)$ ให้กับสามตัวแปรเรียงลำดับ เนื่องจากเราไม่สามารถวาดกราฟในมิติที่สี่ได้ เราจึงใช้ พื้นผิวระดับ:

$$f(x, y, z) = k$$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ จะสร้างชุดทรงกลมที่มีศูนย์กลางเดียวกันเป็นพื้นผิวระดับ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่า ข้อจำกัดในการแทนค่า: ทรงกลมเต็มใบไม่สามารถแทนได้ด้วยฟังก์ชันเพียงตัวเดียวของ $x$ และ $y$ เราต้องใช้การนิยามแบบแยกส่วน เช่น $g(x, y) = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$ (กึ่งทรงกลมด้านบน) และ $h(x, y) = -\sqrt{9 - x^2 - y^2}$ (กึ่งทรงกลมด้านล่าง)

3. โครงสร้างการมองเห็นขั้นสูง

การมองเห็นเป็นรากฐานสำคัญสำหรับกระบวนการหลักของแคลคูลัสหลายตัวแปร:

• การประมาณเชิงเส้น: ฟังก์ชัน $L$ คือการประมาณเชิงเส้นของ $f$ ที่จุด $(a, b)$ และการประมาณ $f(x, y) \approx L(x, y)$ เป็นการตีความเชิงเรขาคณิตของระนาบสัมผัส
• อนุพันธ์ตามทิศทาง: แสดงเป็น $D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0, z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb, z_0 + hc) - f(x_0, y_0, z_0)}{h}$ สิ่งนี้คือ 'ความชัน' ของพื้นผิวในทิศทาง $\mathbf{u}$
• เวกเตอร์เกรเดียนต์ ($\nabla f$): ได้พิสูจน์แล้วว่า $D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos \theta$ เวคเตอร์เกรเดียนต์จะตั้งฉากกับเส้นระดับเสมอ และชี้ไปในทิศทางที่เพิ่มขึ้นสูงสุด ($\theta=0$)